ta có bđt cần chứng minh 

\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\Leftrightarrow\sqrt{xy+z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge1+\sqrt{xy}\)

Áp dụng bđt bu nhi ta có 

\(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\) (1)

mà x+y+z=1\(\Rightarrow xy+z=xy+z\left(x+y+z\right)=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)

áp dụng bu nhi a ta có \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\) (2)

từ (1) và (2) => \(\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge x+y+z+\sqrt{xy}=1+\sqrt{xy}\)

ta có:(vế phải)²\(\le3\left(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}\right)\)

cần chứng minh:

(vế trái)²/3\(\ge\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\left(\frac{x^3+\frac{1}{3}}{y+z}-x^2\right)+...\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}\left(x-y\right)\left(x-z\right)+\frac{y^2}{z+x}\left(y-x\right)\left(y-z\right)+\frac{z^2}{x+y}\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)

bđt luôn đúng vì là bđt schur mở rộng

Theo cosi tao có: \(x^2+1\ge2x\Rightarrow x^2\ge2x-1\left(1\right)\) ; \(y^2+1\ge2y\Rightarrow y^2\ge2y-1\left(2\right)\)

\(z^2+1\ge2z\Rightarrow z^2\ge2z-1\left(3\right)\)

Lại có \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+xz+yz\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+xz+yz\right)\left(4\right)\)

Cộng vế theo vế của (1) (2) (3) (4) ta có \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)-3=2.6-3=9\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\left(dpcm\right)\)

@Cool kid:S*O*S dao lam có thể hiểu đơn giản như vầy:

Đối với BĐT hoán vị với 3 biến (đối xứng càng tốt:v)

Ta sẽ tìm cách biểu diễn \(f\left(x;y;z\right)=f_1\left(x;y;z\right)\left(x-y\right)\left(x-z\right)+f_2\left(x;y;z\right)\left(y-z\right)^2\)

Hoặc \(f\left(x;y;z\right)=-f_3\left(x;y;z\right)\left(x-y\right)\left(x-z\right)+f_4\left(x;y;z\right)\left(y+z-2x\right)^2\)

Với   \(f_1\left(x;y;z\right)\text{và }f_3\left(x;y;z\right)\ge0\)

Vẫn còn rất mơ hồ đúng không? OK vào ví dụ:

Chúng ta có: \(F\left(x;y;z\right)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\left(x-y\right)\left(x-z\right)+\left(y-z\right)^2\) (nhận ra f₁ (x;y;z) là gì rồi chứ:D)

Suy ra \(3.F\left(x;y;z\right)=3\left(x-y\right)\left(x-z\right)+3\left(y-z\right)^2\) (đọc xuống phía dưới bạn sẽ hiểu tại sao mình nhân 3) (1)

Và \(F\left(x;y;z\right)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=-3\left(x-y\right)\left(x-z\right)+\left(y+z-2x\right)^2\) (2) 

OK bây giờ cộng theo vế (1) và (2) sẽ suy ra \(4.F\left(x;y;z\right)=3\left(y-z\right)^2+\left(y+z-2x\right)^2\)

Rồi chia cho 4 suy ra F(x;y;z). Ta đã biểu diễn được nó dưới dạng tổng 2 bình phương.

Lưu ý: :Bên trên chỉ là một cách đơn giản, còn nhiều kiểu biễn diễn khác rất hay nữa;)Nhưng mình nghĩ BĐT hoán vị, đối xứng thì dùng cách trên là được rồi:D

Nói thêm: Theo mình được biết thì cách này dùng cho BĐT có điểm rơi tại x = y = z. Còn trường hợp khác mình chưa có hướng làm tổng quát.

Ta có \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\ge1\)(cộng 2 vế với \(x^2+y^2\))

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Áp dùng bất đẳng Cauchy-schwarz ta có:

\(x^4+y^4=\frac{x^4}{1}+\frac{y^4}{1}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{1+1}\ge\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra <=>\(\int^{x^2=y^2}_{x+y=1}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Xét vế trái :

Do a,b,c >0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế của các bđt ta đc:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)

Xét vế phải ta có: a,b,c>0

Áp dụng bđt Cô-si:

\(a+b+c\ge2\sqrt{\left(a+b\right)c}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)c}}\ge\frac{2}{x+y+z}\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)

Tương tự ta có:

\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\)

\(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế của các bđt ta đc:

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge2\left(2\right)\)

Từ (1) (2) suy ra đpcm

1. a,b,c>0 và a+b+c=2017

\(CM:\Sigma\dfrac{2017a-a^2}{bc}\ge\sqrt{2}\left(\Sigma\sqrt{\dfrac{2017-a}{a}}\right)\)

2. cho x,y,z tm: \(x^2+y^2+z^2=3\)

\(CM:8\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge\left(x+yz\right)\left(y+zx\right)\left(z+xy\right)\)

3. a,b,c>0 và \(a^2+b^2+c^2\ge6\)

\(CM:\Sigma\dfrac{1}{1+ab}\ge\dfrac{3}{2}\)